막의 진동(Vibration of membranes) 는
물리학 에서 막의 끝을 고정시켰을 때 막의 고유 진동 모드를 찾는 문제이다. 물리학과 학부 과정에서 이 문제는 수리물리학에서 편미분 방정식을 배움으로써 논의해보게 된다.
해당 문서에서는 대표적인
직사각형 막(Rectangular membranes) 과
원형 막(Circular membranes) 만 다루고 있다.
이 현상을 볼 수 있는 곳으로는 대표적으로
트램펄린 이 있다.
우리는 이 문제를 해결함에 있어 파동 방정식
∇ 2 Ψ = 1 v 2 ∂ 2 Ψ ∂ t 2 \displaystyle \nabla^{2} \Psi=\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} \Psi}{\partial t^{2}} ∇ 2 Ψ = v 2 1 ∂ t 2 ∂ 2 Ψ 를 사용한다. 이때 파동을 기술하는 함수
Ψ \Psi Ψ 는 공간을 기술하는 성분
ψ ( r ) \psi(\mathbf{r}) ψ ( r ) 과 시간을 기술하는 성분
T ( t ) T(t) T ( t ) 의 곱으로 이루어져있다고 생각하고, 변수 분리를 진행한다. 즉,
Ψ = ψ ( r ) T ( t ) \displaystyle \Psi=\psi(\mathbf{r}) T(t) Ψ = ψ ( r ) T ( t ) 으로 변수분리를 진행할 것이다. 이것을 위 파동방정식에 대입하면,
T ∇ 2 ψ = ψ 1 v 2 d 2 T d t 2 \displaystyle T \nabla^{2} \psi=\psi \frac{1}{v^{2}} \frac{d^2 T}{d t^2} T ∇ 2 ψ = ψ v 2 1 d t 2 d 2 T 이고, 양변을
ψ T \psi T ψ T 로 나누면,
1 ψ ∇ 2 ψ = 1 v 2 1 T d 2 T d t 2 \displaystyle \frac{1}{\psi} \nabla^{2} \psi=\frac{1}{v^{2}} \frac{1}{T} \frac{d^2 T}{d t^2} ψ 1 ∇ 2 ψ = v 2 1 T 1 d t 2 d 2 T 이로써 좌변과 우변은 공간 성분과 시간 성분으로 각각 분리되었다. 이로써 이것을 상수
1 ψ ∇ 2 ψ = 1 v 2 1 T d 2 T d t 2 = − k 2 \displaystyle \frac{1}{\psi} \nabla^{2} \psi=\frac{1}{v^{2}} \frac{1}{T} \frac{d^2 T}{d t^2}=-k^{2} ψ 1 ∇ 2 ψ = v 2 1 T 1 d t 2 d 2 T = − k 2 와 같다고 놓자. 이때,
k k k 는 자연수이다.
k 2 v 2 ≡ ω 2 k^{2}v^{2} \equiv \omega^{2} k 2 v 2 ≡ ω 2 이라 두면 시간 성분에 대해선
d 2 T d t 2 + ω 2 T = 0 \displaystyle \frac{d^2 T}{d t^2}+\omega^{2}T=0 d t 2 d 2 T + ω 2 T = 0 이고, 이것의 해는
T ∼ e − i ω t T \sim e^{-i \omega t} T ∼ e − iω t 의 꼴이다. 이에 우리는 공간 성분의 해만 찾으면 막의 진동을 기술하는 파동 함수를 얻을 수 있으며, 그 꼴은
Ψ ∼ ψ e − i ω t \displaystyle \Psi \sim \psi e^{-i \omega t} Ψ ∼ ψ e − iω t 임을 알 수 있다. 따라서 아랫 문단서 부터는 공간 성분의 편미분 방정식
∇ 2 ψ + k 2 ψ = 0 \displaystyle \nabla^{2} \psi+k^{2} \psi=0 ∇ 2 ψ + k 2 ψ = 0 을 푸는데 집중한다. 참고적으로 위의 꼴의 방정식을
헬름홀츠 방정식 이라 한다.
이 문단에서는
x y xy x y 평면 위에 가로의 길이가
a a a , 세로의 길이가
b b b 인 직사각형 막이 있다고 생각해보자. 문제 특성 상 분석이 가장 용이한 3차원 직교 좌표계를 고려하고, 막의 끝은 모두 고정되어 있음에 따라
ψ ( x = 0 ) = ψ ( x = a ) = ψ ( y = 0 ) = ψ ( y = b ) = 0 \displaystyle \psi(x=0)=\psi(x=a)=\psi(y=0)=\psi(y=b)=0 ψ ( x = 0 ) = ψ ( x = a ) = ψ ( y = 0 ) = ψ ( y = b ) = 0 이 경계 조건으로 사용된다.
파동 함수의 공간 성분을
x x x 축 성분
X ( x ) X(x) X ( x ) ,
y y y 축 성분
Y ( y ) Y(y) Y ( y ) 의 곱으로 변수 분리한다. 즉,
ψ ( x , y ) = X ( x ) Y ( y ) \displaystyle \psi(x,\,y)=X(x)Y(y) ψ ( x , y ) = X ( x ) Y ( y ) 따라서 위의 파동 방정식에 대입하면,
Y d 2 X d x 2 + X d 2 Y d y 2 + k 2 X Y = 0 \displaystyle Y\frac{d^{2}X}{dx^{2}}+X\frac{d^{2}Y}{dy^{2}}+k^{2}XY=0 Y d x 2 d 2 X + X d y 2 d 2 Y + k 2 X Y = 0 양변을
X Y XY X Y 로 나눠주면,
1 X d 2 X d x 2 + 1 Y d 2 Y d y 2 + k 2 = 0 \displaystyle \frac{1}{X}\frac{d^{2}X}{dx^{2}}+\frac{1}{Y}\frac{d^{2}Y}{dy^{2}}+k^{2}=0 X 1 d x 2 d 2 X + Y 1 d y 2 d 2 Y + k 2 = 0 이때,
1 X d 2 X d x 2 ≡ − k m 2 k 2 − k m 2 ≡ k n 2 \displaystyle \frac{1}{X}\frac{d^{2}X}{dx^{2}} \equiv -k_{m}^{2} \qquad \qquad k^{2}-k_{m}^{2} \equiv k_{n}^{2} X 1 d x 2 d 2 X ≡ − k m 2 k 2 − k m 2 ≡ k n 2 이라 놓으면,
1 Y d 2 Y d y 2 = − k n 2 \displaystyle \frac{1}{Y}\frac{d^{2}Y}{dy^{2}}=-k_{n}^{2} Y 1 d y 2 d 2 Y = − k n 2 으로 쓸 수 있고, 이상에서
X ∼ e i k m x X \sim e^{ik_{m}x} X ∼ e i k m x ,
Y ∼ e i k n y Y \sim e^{ik_{n}y} Y ∼ e i k n y 이므로 결국 파동 방정식의 형태는
Ψ = { sin k m x cos k m x } { sin k n y cos k n y } e − i ω m , n t \displaystyle \Psi=\begin{Bmatrix} \sin{k_{m}x} \\ \cos{k_{m}x} \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} \sin{k_{n}y} \\ \cos{k_{n}y} \end{Bmatrix} e^{-i \omega_{m,n} t} Ψ = { sin k m x cos k m x } { sin k n y cos k n y } e − i ω m , n t 임을 알 수 있다. 여기서
ω m , n 2 = ( k m 2 + k n 2 ) v 2 \displaystyle \omega_{m,n}^{2}=(k_{m}^{2}+k_{n}^{2})v^{2} ω m , n 2 = ( k m 2 + k n 2 ) v 2 이다. 그런데 경계 조건에 의해
ψ ( x = 0 ) = ψ ( y = 0 ) = 0 \psi(x=0)=\psi(y=0)=0 ψ ( x = 0 ) = ψ ( y = 0 ) = 0 에서 공간 성분에서 Cosine 항은 해가 될 수 없다는 것을 얻는다. 또한,
ψ ( x = a ) = ψ ( y = b ) = 0 \psi(x=a)=\psi(y=b)=0 ψ ( x = a ) = ψ ( y = b ) = 0 에서
k m a = m π 2 ( m ∈ N ) k n b = n π 2 ( n ∈ N ) \displaystyle k_{m}a=\frac{m \pi}{2}\,( m \in \mathbb{N}) \qquad \qquad k_{n}b=\frac{n \pi}{2}\,( n \in \mathbb{N}) k m a = 2 mπ ( m ∈ N ) k n b = 2 nπ ( n ∈ N ) 이상에서 사각형 막을 기술하는 파동 함수는
Ψ = ∑ m n A m , n sin ( m π x 2 a ) sin ( m π x 2 a ) exp ( − i v t 2 m 2 a 2 + n 2 b 2 ) \displaystyle \Psi=\sum_{mn} A_{m,n}\sin{\left( \frac{m \pi x}{2a} \right)} \sin{\left( \frac{m \pi x}{2a} \right)} \exp{\left(- \frac{ivt}{2} \sqrt{\frac{m^{2}}{a^{2}}+\frac{n^{2}}{b^{2} }} \right )} Ψ = mn ∑ A m , n sin ( 2 a mπ x ) sin ( 2 a mπ x ) exp ( − 2 i v t a 2 m 2 + b 2 n 2 ) 임을 알 수 있다. 여기서
A m , n A_{m,n} A m , n 은 각 진동 모드의 진폭이라 해석할 수 있는 상수이다. 이에 사각형 막의 진동은 다음의 고유 진동 모드
Ψ m , n = A m , n sin ( m π x 2 a ) sin ( m π x 2 a ) exp ( − i v t 2 m 2 a 2 + n 2 b 2 ) \displaystyle \Psi_{m,n}=A_{m,n} \sin{\left( \frac{m \pi x}{2a} \right)} \sin{\left( \frac{m \pi x}{2a} \right)} \exp{\left(- \frac{ivt}{2} \sqrt{\frac{m^{2}}{a^{2}}+\frac{n^{2}}{b^{2} }} \right )} Ψ m , n = A m , n sin ( 2 a mπ x ) sin ( 2 a mπ x ) exp ( − 2 i v t a 2 m 2 + b 2 n 2 ) 의 합으로 주어지고, 각 고유 진동 모드의 각진동수는
ω m , n = v 2 m 2 a 2 + n 2 b 2 ( m , n ∈ N ) \displaystyle \omega_{m,n}=\frac{v}{2} \sqrt{\frac{m^{2}}{a^{2}}+\frac{n^{2}}{b^{2} }} \,\, ( m,\,n \in \mathbb{N}) ω m , n = 2 v a 2 m 2 + b 2 n 2 ( m , n ∈ N ) 임을 알 수 있다. 참고적으로
a = b ≡ c a=b \equiv c a = b ≡ c 일 때 각 고유 진동 모드의 각진동수는
ω m , n = v 2 c m 2 + n 2 ( m , n ∈ N ) \displaystyle \omega_{m,n}=\frac{v}{2c} \sqrt{{m^{2}}+{n^{2} }} \,\, ( m,\,n \in \mathbb{N}) ω m , n = 2 c v m 2 + n 2 ( m , n ∈ N ) 으로 축퇴(Degeneracy)가 일어날 수 있음을 알 수 있다.
이곳 에서 직사각형 막의 고유 진동 양상을 볼 수 있다.
이 문단에서는
x y xy x y 평면 위에 반지름의 길이가
R R R 인 원형 막이 있다고 생각해보자. 문제 특성 상 분석이 가장 용이한 3차원 원통 좌표계를 고려하고, 막의 끝은 모두 고정되어 있음에 따라
ψ ( ρ = R ) = 0 \displaystyle \psi(\rho=R)=0 ψ ( ρ = R ) = 0 이 경계 조건으로 사용된다.
파동 함수의 공간 성분을
ρ \rho ρ 성분
P ( ρ ) \Rho(\rho) P ( ρ ) ,
ϕ \phi ϕ 성분
Φ ( ϕ ) \Phi(\phi) Φ ( ϕ ) 의 곱으로 변수 분리한다. 즉,
ψ ( ρ , ϕ ) = P ( ρ ) Φ ( ϕ ) \displaystyle \psi(\rho,\,\phi)=\Rho(\rho) \Phi(\phi) ψ ( ρ , ϕ ) = P ( ρ ) Φ ( ϕ ) 따라서 위의 파동 방정식에 대입하면,
Φ ρ d d ρ ( ρ d P d ρ ) + P ρ 2 d 2 Φ d ϕ 2 + k 2 P Φ = 0 \displaystyle \frac{\Phi}{\rho}\frac{d}{d \rho} \left( \rho \frac{d\Rho}{d \rho} \right)+\frac{\Rho}{\rho^{2}}\frac{d^{2} \Phi}{d \phi^{2}}+k^{2}\Rho \Phi=0 ρ Φ d ρ d ( ρ d ρ d P ) + ρ 2 P d ϕ 2 d 2 Φ + k 2 P Φ = 0 양변을
P Φ \Rho \Phi P Φ 로 나누고,
ρ 2 \rho^{2} ρ 2 을 곱하면,
ρ P d d ρ ( ρ d P d ρ ) + k 2 ρ 2 + 1 Φ d 2 Φ d ϕ 2 = 0 \displaystyle \frac{\rho}{\Rho}\frac{d}{d \rho} \left( \rho \frac{d\Rho}{d \rho} \right)+k^{2} \rho^{2}+ \frac{1}{\Phi}\frac{d^{2} \Phi}{d \phi^{2}}=0 P ρ d ρ d ( ρ d ρ d P ) + k 2 ρ 2 + Φ 1 d ϕ 2 d 2 Φ = 0 이것을 정리하여 아래와 같이 쓰면,
ρ P d d ρ ( ρ d P d ρ ) + k 2 ρ 2 = − 1 Φ d 2 Φ d ϕ 2 = m 2 \displaystyle \frac{\rho}{\Rho}\frac{d}{d \rho} \left( \rho \frac{d\Rho}{d \rho} \right)+k^{2} \rho^{2}=- \frac{1}{\Phi}\frac{d^{2} \Phi}{d \phi^{2}}=m^{2} P ρ d ρ d ( ρ d ρ d P ) + k 2 ρ 2 = − Φ 1 d ϕ 2 d 2 Φ = m 2 이 되고,
ϕ \phi ϕ 성분에 대하여
− 1 Φ d 2 Φ d ϕ 2 = m 2 \displaystyle - \frac{1}{\Phi}\frac{d^{2} \Phi}{d \phi^{2}}=m^{2} − Φ 1 d ϕ 2 d 2 Φ = m 2 이므로
ϕ ∼ e i m ϕ \phi \sim e^{i m \phi} ϕ ∼ e im ϕ 임을 얻을 수 있다. 여기서
e i m ϕ = e i m ( 2 π + ϕ ) e^{i m \phi}=e^{im (2 \pi+\phi )} e im ϕ = e im ( 2 π + ϕ ) 이어야 함을 고려하면,
m m m 은 0을 포함한 자연수만 가능함을 알 수 있다. 한편,
ρ \rho ρ 성분은
ρ 2 d 2 P d ρ 2 + ρ d P d ρ + ( k 2 ρ 2 − m 2 ) P = 0 \displaystyle \rho^{2} \frac{d^2 \Rho}{d \rho^{2}}+\rho \frac{d \Rho}{d \rho}+(k^{2} \rho^{2}-m^{2})\Rho=0 ρ 2 d ρ 2 d 2 P + ρ d ρ d P + ( k 2 ρ 2 − m 2 ) P = 0 이고, 이 방정식은 베셀 방정식이다. 따라서 우리는 원형 막의 진동을 기술하는 파동 함수의 형태가
Ψ = { J m ( k ρ ) Y m ( k ρ ) } { sin m ϕ cos m ϕ } e − i ω t \displaystyle \Psi=\begin{Bmatrix} J_{m}(k \rho)\\Y_{m}(k \rho) \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} \sin{m \phi}\\\cos{m \phi} \end{Bmatrix} e^{-i \omega t} Ψ = { J m ( k ρ ) Y m ( k ρ ) } { sin m ϕ cos m ϕ } e − iω t 임을 알 수 있다.
J m ( k ρ ) J_{m}(k \rho) J m ( k ρ ) ,
Y m ( k ρ ) Y_{m}(k \rho) Y m ( k ρ ) 는 각각
베셀 함수 , 노이먼 함수이다. 그러나 노이먼 함수는
ρ → 0 \rho \to 0 ρ → 0 ,
Y m ( k ρ ) → − ∞ Y_{m}(k \rho) \to -\infty Y m ( k ρ ) → − ∞ 인 특성이 있어 우리가 현재 다루고 있는 물리적인 상황과 꽤 먼 거리에 있는 함수이기 때문에 이를 제외해야 하고,
Ψ ( ρ = R ) = 0 \Psi(\rho=R)=0 Ψ ( ρ = R ) = 0 임을 고려하면,
J m ( k R ) = 0 \displaystyle J_{m}(kR)=0 J m ( k R ) = 0 이어야 한다. 따라서
k R ≡ j m , n \displaystyle kR \equiv j_{m,n} k R ≡ j m , n 로 둘 수 있다.
j m , n j_{m,n} j m , n 은
J m ( k r ) J_{m}(kr) J m ( k r ) 의
n n n 번째 영점이다. 이상에서 우리는 원형막을 기술하는 파동 함수가
Ψ = ∑ m n A m n J m ( ω m , n R v ρ ) sin ( m ϕ ) exp ( − i ω m , n R ) + ∑ m n B m n J m ( ω m , n R v ρ ) cos ( m ϕ ) exp ( − i ω m , n t R ) \displaystyle \Psi=\sum_{mn} A_{mn} J_{m} \left( \frac{\omega_{m,n}}{R v}\rho \right) \sin{(m \phi)} \exp{\left( -\frac{i \omega_{m,n}}{R} \right)}+\sum_{mn} B_{mn} J_{m} \left( \frac{\omega_{m,n}}{R v}\rho \right) \cos{(m \phi)} \exp{\left( -\frac{i \omega_{m,n} t}{R} \right)} Ψ = mn ∑ A mn J m ( R v ω m , n ρ ) sin ( m ϕ ) exp ( − R i ω m , n ) + mn ∑ B mn J m ( R v ω m , n ρ ) cos ( m ϕ ) exp ( − R i ω m , n t ) 으로 주어진다는 것을 얻는다. 여기서
ω m , n ≡ j m , n v / R \omega_{m,n} \equiv j_{m,n} v/R ω m , n ≡ j m , n v / R 이다. 이에 직사각형 막과 마찬가지로 고유 진동 모드
Ψ m n ( 1 ) = A m n J m ( ω m , n R v ρ ) sin ( m ϕ ) exp ( − i ω m , n t R ) Ψ m n ( 2 ) = B m n J m ( ω m , n R v ρ ) cos ( m ϕ ) exp ( − i ω m , n t R ) \displaystyle \begin{aligned} \Psi_{mn}^{(1)} &=A_{mn} J_{m} \left( \frac{\omega_{m,n}}{R v}\rho \right) \sin{(m \phi)} \exp{\left( -\frac{i \omega_{m,n} t}{R} \right)} \\ \Psi_{mn}^{(2)} &=B_{mn} J_{m} \left( \frac{\omega_{m,n}}{R v}\rho \right) \cos{(m \phi)} \exp{\left( -\frac{i \omega_{m,n} t}{R} \right)} \end{aligned}
Ψ mn ( 1 ) Ψ mn ( 2 ) = A mn J m ( R v ω m , n ρ ) sin ( m ϕ ) exp ( − R i ω m , n t ) = B mn J m ( R v ω m , n ρ ) cos ( m ϕ ) exp ( − R i ω m , n t ) 의 합으로 주어진다는 것을 얻는다. 이때, 위에서 나왔듯 각 고유 진동 모드의 각진동수는
ω m , n = j m , n v R \displaystyle \omega_{m,n} = \frac{j_{m,n}v}{R}
ω m , n = R j m , n v 이다.
이곳 에서 원형 막의 고유 진동 모드 양상을 볼 수 있다.(다만, 가장 바깥쪽 흰색 원형 선까지의 영역만 유효하다.)
